Mathematik · Statistik · Quartile & Boxplot

Von den Quartilen zum Boxplot

Eine geordnete Stichprobe in vier gleich grosse Teile zerlegen, die Fünf-Punkte-Zusammenfassung bestimmen und daraus einen Boxplot lesen. Wähle deinen Zugang.

Die Kernaufgabe

In einer Klasse wurden die erreichten Punkte einer Prüfung erfasst. Die geordnete Stichprobe (n = 11) lautet:

4   7   8   10   12   14   15   16   18   19   22

  1. Bestimme Minimum, Q1, Median (Q2), Q3 und Maximum.
  2. Zeige, wie du die Positionen findest.
  3. Beschreibe in einem Satz, was der Boxplot über die Streuung aussagt.

Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung erscheint im Boxplot, sobald du die Werte korrekt eingetragen hast.

Wähle deinen Zugang:

Zugang A – Mit Unterstützung

Die Hilfen führen dich Schritt für Schritt zur Fünf-Punkte-Zusammenfassung.

Die Begriffe

  • Median (Q2) – teilt die geordnete Stichprobe in zwei Hälften.
  • Q1 (unteres Quartil) – der Median der unteren Hälfte.
  • Q3 (oberes Quartil) – der Median der oberen Hälfte.

Positionsregel für diese Aufgabe (n = 11)

Bei 11 Werten steht der Median an Position 6. Die untere Hälfte sind die Positionen 1–5, die obere Hälfte die Positionen 7–11. Q1 ist der mittlere Wert der unteren fünf, Q3 der mittlere Wert der oberen fünf.

Rechenrahmen – trag die Werte ein

Position 3
Position 6
Position 9

Leitfragen

  1. An welcher Position steht bei 11 Werten der Median?
  2. Welche Werte bilden die untere, welche die obere Hälfte?
  3. Welcher Wert steht jeweils in der Mitte dieser Hälften?

Satzanfang für dein Ergebnis

«Die mittleren 50 % der Prüfungsergebnisse liegen zwischen ______ und ______ Punkten; der Median beträgt ______ …»

Selbstcheck

Zugang B – Eigenständig

Bestimme die Fünf-Punkte-Zusammenfassung ohne Hilfen. Zum Prüfen kannst du deine Werte eintragen.

Ergebnisse prüfen (freiwillig)

Selbstcheck

Zugang C – Vertiefung

Bearbeite zuerst die Kernaufgabe. Untersuche danach, was sich ändert, wenn die Position nicht mehr ganzzahlig ist.

Neue Situation (n = 12)

Eine zwölfte Person schreibt mit und erreicht 20 Punkte. Die geordnete Stichprobe lautet nun:

4   7   8   10   12   14   15   16   18   19   20   22

💡 Denkimpuls: Bei gerader Anzahl liegt der Median zwischen zwei Werten. Berechne ihn als Mittel der Positionen 6 und 7. Für Q1 und Q3 gilt dasselbe innerhalb der Hälften (je 6 Werte).

Berechne die neue Zusammenfassung

Deine Denkaufgabe

  1. Warum ist der Median jetzt keine ganze Zahl mehr, obwohl alle Messwerte ganze Zahlen sind?
  2. Begründungsfrage: Der Interquartilsabstand (IQR) umfasst die mittleren 50 % der Daten. Warum ist er robuster gegen Ausreisser als die Spannweite (Max − Min)?
  3. Transferfrage: Zwei Klassen haben denselben Median, aber sehr unterschiedliche IQR. Was sagt das über die beiden Klassen aus?
Bei 12 Werten gibt es keine einzelne Mitte – die Positionen 6 und 7 tragen die Werte 14 und 15, also ist der Median (14 + 15) ÷ 2 = 14,5. Genau deshalb kann der Median «zwischen» den Messwerten liegen. Der IQR misst nur den Abstand von Q1 bis Q3 und ignoriert die äussersten Werte – ein einzelner Ausreisser am Rand verändert ihn nicht, die Spannweite dagegen sofort.

Selbstcheck

Lösungen und Rechenwege – für die Lehrperson

Kernaufgabe: 4 7 8 10 12 14 15 16 18 19 22 (n = 11)

  • Minimum = 4, Maximum = 22.
  • Median (Q2): Position (11+1)/2 = 6 → Wert 14.
  • Q1: untere Hälfte 4 7 8 10 12, Mitte = Position 3 → 8.
  • Q3: obere Hälfte 15 16 18 19 22, Mitte = Position 9 → 18.

Fünf-Punkte-Zusammenfassung: 4 / 8 / 14 / 18 / 22. Beispielsatz: «Die mittleren 50 % liegen zwischen 8 und 18 Punkten, der Median beträgt 14.»

Zugang C: 4 7 8 10 12 14 15 16 18 19 20 22 (n = 12)

  • Median: Mittel der Positionen 6 und 7 = (14 + 15) ÷ 2 = 14,5.
  • Q1: untere 6 Werte 4 7 8 10 12 14, Mitte = (8 + 10) ÷ 2 = 9.
  • Q3: obere 6 Werte 15 16 18 19 20 22, Mitte = (18 + 19) ÷ 2 = 18,5.
  • IQR = 18,5 − 9 = 9,5.

Erwartungshorizont: Der Median liegt bei gerader Anzahl zwischen zwei Werten, daher der Halbschritt. Der IQR beschreibt die Streuung der mittleren 50 % und bleibt unbeeinflusst von einzelnen Extremwerten – anders als die Spannweite. Gleicher Median bei unterschiedlichem IQR heisst: gleiches «Zentrum», aber die eine Klasse ist homogener (kleiner IQR), die andere streut stärker (grosser IQR).

Anschluss an den Foliensatz: Diese Fünf-Punkte-Zusammenfassung ist genau die Grundlage des Boxplots (Min – Q1 – Median – Q3 – Max) und verbindet die Lagemasse-Lektion mit der Streuungs- und Boxplot-Lektion.