Mathematik · Statistik · Lagemasse

Mittelwert, Median und Modus

Aus einer geordneten Stichprobe die drei Lagemasse berechnen, sie sicher unterscheiden und beurteilen, welches Mass die Daten am ehrlichsten beschreibt. Wähle deinen Zugang.

Die Kernaufgabe

In einem Betrieb wurde die Anzahl Krankheitstage von acht Mitarbeitenden im letzten Jahr erfasst. Die geordnete Stichprobe lautet:

2   3   3   4   5   5   5   8

  1. Berechne Mittelwert, Median und Modus.
  2. Zeige deinen Rechenweg.
  3. Formuliere einen sachlichen Satz, der die drei Werte im Zusammenhang beschreibt.
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Jeder Punkt ist ein Messwert. Nutze die Zugänge, um Median und Mittelwert einzublenden.

Wähle deinen Zugang:

Zugang A – Mit Unterstützung

Die Hilfen führen dich Schritt für Schritt durch die drei Lagemasse.

Die drei Begriffe

  • Modus – der Wert, der am häufigsten vorkommt.
  • Median – der Zentralwert der geordneten Stichprobe. Bei gerader Anzahl: Mittel der beiden mittleren Werte.
  • Mittelwert – Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

Rechenrahmen – trag die Werte ein

häufigster Wert
Mittel der Werte an Position 4 und 5
Summe ÷ n =

Leitfragen

  1. Welcher Wert steht in der Liste am häufigsten?
  2. Die Stichprobe hat 8 Werte – welche zwei stehen genau in der Mitte?
  3. Wie gross ist die Summe aller acht Werte, und durch welche Zahl teilst du sie?

Satzanfang für dein Ergebnis

«Die Mitarbeitenden hatten im Schnitt ______ Krankheitstage; typischerweise (Median) waren es ______, am häufigsten kamen ______ Tage vor …»

Selbstcheck

Zugang B – Eigenständig

Bearbeite die Kernaufgabe (Punkte 1–3) ohne zusätzliche Hilfen. Zum Prüfen kannst du deine Ergebnisse eintragen.

Ergebnisse prüfen (freiwillig)

Selbstcheck

Zugang C – Vertiefung

Bearbeite zuerst die Kernaufgabe. Untersuche danach, wie ein einzelner Ausreisser die Lagemasse verändert.

Neue Situation

Ein Mitarbeiter fällt wegen einer Operation lange aus. Sein Wert steigt von 8 auf 40 Krankheitstage. Die Stichprobe lautet nun:

2   3   3   4   5   5   5   40

Berechne die neuen Lagemasse

Deine Denkaufgabe

  1. Welches der drei Lagemasse hat sich am stärksten verändert, welches gar nicht? Beschreibe es in einem Satz.
  2. Begründungsfrage: Warum reagiert der Mittelwert empfindlich auf den Ausreisser, der Median aber kaum?
  3. Transferfrage: Der Betrieb will «die typische Anzahl Krankheitstage» kommunizieren. Welches Lagemass ist dafür ehrlicher – und warum?
💡 Denkimpuls: Der Median zählt nur Positionen, der Mittelwert rechnet mit jedem einzelnen Wert.
Der Modus bleibt 5 und der Median bleibt 4,5 – beide hängen nur von der Reihenfolge ab, nicht von der Grösse des äussersten Werts. Der Mittelwert springt von 4,375 auf 8,375, weil die 40 voll in die Summe eingeht. Für eine «typische» Aussage ist deshalb der Median ehrlicher: Er lässt sich von einem einzelnen Extremwert nicht verzerren.

Selbstcheck

Lösungen und Rechenwege – für die Lehrperson

Kernaufgabe: 2 3 3 4 5 5 5 8 (n = 8)

  • Modus = 5 (kommt dreimal vor).
  • Median: Positionen 4 und 5 sind 4 und 5 → (4 + 5) ÷ 2 = 4,5.
  • Mittelwert: (2+3+3+4+5+5+5+8) ÷ 8 = 35 ÷ 8 = 4,375.

Beispielsatz: «Im Schnitt hatten die Mitarbeitenden rund 4,4 Krankheitstage; der typische Wert (Median) liegt bei 4,5, am häufigsten kamen 5 Tage vor.»

Zugang C: 2 3 3 4 5 5 5 40 (n = 8)

  • Modus = 5 (unverändert).
  • Median = (4 + 5) ÷ 2 = 4,5 (unverändert).
  • Mittelwert = (2+3+3+4+5+5+5+40) ÷ 8 = 67 ÷ 8 = 8,375.

Erwartungshorizont: Modus und Median hängen nur von Häufigkeit bzw. Position ab; der Ausreisser ändert diese nicht. Der Mittelwert bezieht jeden Wert der Grösse nach ein, deshalb hebt die 40 ihn stark an (+4). Für eine «typische» Aussage ist der Median robuster und damit ehrlicher; der Mittelwert würde den Eindruck erwecken, alle hätten rund 8 Tage gefehlt, obwohl das auf niemanden ausser den Ausreisser zutrifft.

Anschluss an den Foliensatz: Diese Aufgabe bereitet Quartile und Boxplot vor – der Median ist Q2, und die Robustheit gegenüber Ausreissern ist genau der Grund, warum der Boxplot auf Median und Quartilen aufbaut.