Mathematik · Berufsmaturität · Prüfungsvorbereitung

Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme

Geprüft werden das Lösen linearer Ungleichungen, das Zeichnen von Halbebenen und das grafische Lösen von Ungleichungssystemen – hier prüfst du dich selbst, schreibst eine Übungsprüfung und schliesst deine Lücken.

Lernziele und Gewichtung

Nr.	Ich kann …	Punkte
Z1	… lineare Ungleichungen nach den Rechenregeln umformen und lösen (Zeichenumkehr bei negativem Faktor oder Divisor).	5
Z2	… eine lineare Ungleichung in die Form y ≤ … bzw. y ≥ … bringen und die Halbebene (oberhalb/unterhalb) bestimmen.	5
Z3	… eine lineare Ungleichung grafisch darstellen: Randgerade (gestrichelt oder durchgezogen) und richtige Halbebene.	5
Z4	… mit der Punktprobe entscheiden, ob ein Punkt zur Lösungsmenge einer Ungleichung gehört.	4
Z5	… ein Ungleichungssystem grafisch lösen: Durchschnittsmenge der Halbebenen und Eckpunkte bestimmen.	7
Z6	… den Lösungsbereich beschreiben und begründen (Durchschnittsmenge, leere Lösungsmenge, Rand).	4
	Total	30

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Lernziele checken

Schätze dich zu jedem Lernziel ein und beantworte die Kontrollfrage. Danach weisst du, was du in Teil C wiederholen musst.

Z1 · Ich kann lineare Ungleichungen umformen und lösen.

Kontrollfrage: Welches Zeichen steht in der Lösung von -2x < 8? x __ -4

Zeichen

Z2 · Ich kann nach y auflösen und die Halbebene bestimmen.

Kontrollfrage: 3x - y ≤ 6 nach y aufgelöst ergibt y __ 3x - 6. Welches Zeichen?

Zeichen

Z3 · Ich kann eine Ungleichung grafisch darstellen.

Kontrollfrage: Wie zeichnest du die Randgerade bei y < 2x + 1?

Randgerade

Z4 · Ich kann die Punktprobe durchführen.

Kontrollfrage: Gehört P(2|1) zur Lösungsmenge von 3x + 2y ≤ 8?

Antwort

Z5 · Ich kann Ungleichungssysteme grafisch lösen.

Kontrollfrage: Welcher Punkt erfüllt das System y ≥ 0, y ≤ x, x ≤ 4?

Punkt

Z6 · Ich kann den Lösungsbereich beschreiben und begründen.

Kontrollfrage: Die Lösungsmenge eines Ungleichungssystems ist die … der Halbebenen.

Begriff

Übungsprüfung · 30 Minuten · 30 Punkte · Hilfsmittel: Taschenrechner

30:00

Aufgabe 1 · Ungleichungen lösen 5 Punkte

Löse nach x auf und gib Zeichen und Grenzwert an.
a) -3x + 7 ≤ 13 b) 4 - 2x > x + 13

a) x __

a) Grenzwert

b) x __

b) Grenzwert

c) Was geschieht beim Dividieren beider Seiten durch -3?

a) -3x + 7 ≤ 13 | -7 → -3x ≤ 6 | :(-3) (Zeichen umkehren) → x ≥ -2.
b) 4 - 2x > x + 13 | -x -4 → -3x > 9 | :(-3) (Zeichen umkehren) → x < -3.
c) Division durch eine negative Zahl kehrt das Ungleichheitszeichen um.

Aufgabe 2 · Nach y auflösen 5 Punkte

Gegeben ist 4x - 2y ≥ 6. Bringe die Ungleichung in die Form y __ m·x + q und beschreibe die Halbebene.

Zeichen bei y

Steigung m

Achsenabschnitt q

Welche Halbebene?

Wie wird die Randgerade gezeichnet?

4x - 2y ≥ 6 | -4x → -2y ≥ -4x + 6 | :(-2) (Zeichen umkehren) → y ≤ 2x - 3. Also m = 2, q = -3, untere Halbebene; wegen «≤» gehört der Rand dazu → durchgezogene Gerade.

Aufgabe 3 · Grafik lesen und zeichnen 5 Punkte

a) Welche Ungleichung gehört zur Grafik (durchgezogene Randgerade, schraffierte Halbebene)?

Grafik zu Aufgabe 3a

b) Du zeichnest y > 2x - 1.

Randgerade

Halbebene

Gehört O(0|0) dazu?

a) Die Randgerade hat die Gleichung y = -x + 4, also x + y = 4; schraffiert ist unterhalb, der Rand ist durchgezogen → x + y ≤ 4.
b) Wegen «>» ist die Gerade gestrichelt, es gilt die obere Halbebene. Punktprobe O(0|0): 0 > 2·0 - 1 = -1 → wahr, O gehört dazu.

Aufgabe 4 · Punktprobe 4 Punkte

Gegeben: 2x + 3y < 12. Gehört der Punkt zur Lösungsmenge?

P(0|0)

Q(3|2)

R(6|1)

S(-1|4)

P: 0 < 12 → ja. Q: 6 + 6 = 12, aber 12 < 12 ist falsch (Rand gehört bei «<» nicht dazu) → nein. R: 12 + 3 = 15 < 12 falsch → nein. S: -2 + 12 = 10 < 12 wahr → ja.

Aufgabe 5 · Ungleichungssystem 4 Punkte

Gegeben ist das System

I: y ≥ 0

II: y ≤ 2x

III: x + y ≤ 6

Gehört P(1|3) dazu?

Gehört Q(3|2) dazu?

Schnittpunkt der Randgeraden von II und III:

x-Koordinate

y-Koordinate

P(1|3): II verlangt 3 ≤ 2·1 = 2 → falsch, P gehört nicht dazu. Q(3|2): 2 ≥ 0 ✓, 2 ≤ 6 ✓, 3 + 2 = 5 ≤ 6 ✓ → ja.
Schnittpunkt: 2x = 6 - x → 3x = 6 → x = 2, y = 2·2 = 4 → S(2|4).

Aufgabe 6 · Lösungsbereich desselben Systems 3 Punkte

Der Lösungsbereich des Systems aus Aufgabe 5 hat die Eckpunkte (0|0), (6|0) und (2|4).

a) Welche Form hat der Lösungsbereich?

b) Grösster y-Wert im Bereich

c) Grösster x-Wert im Bereich

Aufgabe 7 · Begründen 4 Punkte

a) Begründe in zwei Sätzen, weshalb die Lösungsmenge eines Ungleichungssystems die Durchschnittsmenge der einzelnen Halbebenen ist. 2 Punkte

Begründung

Bewerte deine Antwort nach der Musterlösung (erscheint bei der Auswertung):

b) Die drei Halbebenen eines Systems haben keinen gemeinsamen Punkt. Welche Aussage ist richtig? 2 Punkte

a) Musterlösung: Ein Punkt ist nur dann Lösung des Systems, wenn er jede einzelne Ungleichung erfüllt. Da jede Ungleichung genau die Punkte einer Halbebene zulässt, muss der Punkt in allen Halbebenen zugleich liegen – also im Durchschnitt der Halbebenen. (1 P: «alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllt», 1 P: «deshalb Durchschnitt/gemeinsamer Bereich».)
b) Ohne gemeinsamen Bereich gibt es keinen Punkt, der alle Ungleichungen erfüllt: die Lösungsmenge ist leer.

Z1 · Ungleichungen umformen und lösen

Drei Merksätze
1. Addieren und Subtrahieren auf beiden Seiten: das Zeichen bleibt.
2. Multiplizieren oder Dividieren mit einer positiven Zahl: das Zeichen bleibt.
3. Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl: das Zeichen kehrt um (< → >, ≤ → ≥).

Beispiel

5 - 3x ≥ 14 | -5
-3x ≥ 9 | :(-3) → Zeichen umkehren
x ≤ -3

Lösungsmenge: alle Zahlen kleiner oder gleich -3.

Üben

Löse -4x + 3 < 19.

x __

Grenzwert

Z2 · Nach y auflösen, Halbebene bestimmen

y alleine auf die linke Seite bringen. Danach gilt:
y ≤ … oder y < … → Halbebene unterhalb der Geraden.
y ≥ … oder y > … → Halbebene oberhalb der Geraden.
Achtung: Beim Teilen durch einen negativen y-Koeffizienten kehrt das Zeichen um.

Beispiel

2x - y < 4 | -2x
-y < -2x + 4 | :(-1) → Zeichen umkehren
y > 2x - 4

Obere Halbebene, Randgerade gestrichelt (weil «>»).

Üben

Forme 3x + 2y ≥ 12 in die Form y __ m·x + q um.

Zeichen

m (auch -3/2 möglich)

Halbebene

Z3 · Ungleichung grafisch darstellen

1. Ungleichung nach y auflösen und die Randgerade y = m·x + q zeichnen.
2. Bei < oder > gestrichelt (Rand gehört nicht dazu), bei ≤ oder ≥ durchgezogen.
3. Halbebene einfärben: y ≥ … oberhalb, y ≤ … unterhalb – zur Kontrolle einen Testpunkt (meist O(0|0)) einsetzen.

Beispiel: 2x - y ≤ 2

-y ≤ -2x + 2 | :(-1) → y ≥ 2x - 2

Randgerade y = 2x - 2 durchgezogen, obere Halbebene schraffiert. Testpunkt O(0|0): 0 ≥ -2 ✓ – O liegt im schraffierten Bereich.

Lösungsmenge von 2x - y ≤ 2

Üben

Du zeichnest y > -2x + 3.

Randgerade

Gehört O(0|0) dazu?

Z4 · Punktprobe

1. Koordinaten des Punktes in die Ungleichung einsetzen.
2. Entsteht eine wahre Aussage, gehört der Punkt zur Lösungsmenge.
3. Bei < und > gehören Punkte auf der Randgeraden nicht dazu, bei ≤ und ≥ schon.

Beispiel: 3x - 2y ≥ 6

P(4|1): 3·4 - 2·1 = 10 ≥ 6 → wahr, P gehört dazu.
Q(1|0): 3·1 - 0 = 3 ≥ 6 → falsch, Q gehört nicht dazu.

Üben

Gegeben: x + 4y < 8.

A(2|1)

B(0|2)

Z5 · Ungleichungssysteme grafisch lösen

1. Jede Ungleichung einzeln nach y auflösen und ihre Halbebene zeichnen.
2. Die Lösungsmenge ist der Bereich, der in allen Halbebenen liegt (Durchschnittsmenge, am dunkelsten).
3. Eckpunkte erhältst du, indem du je zwei Randgeraden gleichsetzt.

Beispiel

I: x ≥ 0

II: y ≥ 0

III: x + 2y ≤ 8 → y ≤ -0.5x + 4

I gibt die rechte Halbebene, II die obere, III die Halbebene unterhalb von y = -0.5x + 4. Der Durchschnitt ist ein Dreieck mit den Ecken (0|0), (8|0) und (0|4).

Durchschnittsmenge der drei Halbebenen

Üben

System: y ≥ 0, y ≤ x, x ≤ 4.

Gehört P(3|1) dazu?

Ecke rechts oben: x

Ecke rechts oben: y

Z6 · Lösungsbereich beschreiben und begründen

1. «Lösungsmenge» heisst: alle Punkte, die alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.
2. Gibt es keinen gemeinsamen Punkt, ist die Lösungsmenge leer.
3. Bei ≤ und ≥ gehören die Randgeraden zur Lösungsmenge, bei < und > nicht.

Beispiel einer Begründung

«Ein Punkt löst das System nur, wenn er jede einzelne Ungleichung erfüllt. Jede Ungleichung lässt genau die Punkte einer Halbebene zu, also muss der Punkt in allen Halbebenen zugleich liegen – die Lösungsmenge ist deshalb die Durchschnittsmenge der Halbebenen.»

Üben

Welche Lösungsmenge hat das System y ≥ 3 und y ≤ 1?

Lösungsmenge

Lernplan: die letzten drei Tage

Tag	Lernziele	Dauer	Methode
Tag 3	Z1, Z2 (10 Punkte)	45 min	Rechenregeln laut aufsagen; je fünf Ungleichungen umformen und nach y auflösen; Übungen in Teil C.
Tag 2	Z3, Z4 (9 Punkte)	45 min	Drei Ungleichungen von Hand zeichnen (Randgerade, Strichart, Halbebene), jede mit Testpunkt prüfen und mit GeoGebra kontrollieren.
Tag 1	Z5, Z6 (11 Punkte)	60 min	Zwei Systeme zeichnen und die Eckpunkte berechnen; danach Teil B in 30 Minuten schreiben und Fehler notieren.
Prüfungstag	alle	15 min	Nur die Merkblöcke von Teil C durchlesen; besonders die Zeichenumkehr und «≤ = unterhalb».

Für die Lehrperson: Lösungen, Punkteschlüssel, typische Fehler

Punkteschlüssel (Total 30)

Aufgabe	Lernziel	Lösung	Punkte
1a	Z1	-3x ≤ 6 → x ≥ -2	1 (Zeichen) + 1 (Wert)
1b	Z1	-3x > 9 → x < -3	1 (Zeichen) + 1 (Wert)
1c	Z1	Zeichen kehrt um	1
2	Z2	y ≤ 2x - 3; m = 2, q = -3; unterhalb; durchgezogen	5 × 1
3a	Z3	x + y ≤ 4	2
3b	Z3	gestrichelt; oberhalb; O(0\|0) gehört dazu	3 × 1
4	Z4	P ja, Q nein (12 < 12 falsch), R nein (15), S ja (10)	4 × 1
5	Z5	P nein, Q ja; Schnittpunkt S(2\|4)	4 × 1
6	Z5	Dreieck; y_max = 4; x_max = 6	3 × 1
7a	Z6	alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllt (1 P) → Durchschnitt der Halbebenen (1 P)	2
7b	Z6	Lösungsmenge ist leer	2

Verteilung: Z1 5, Z2 5, Z3 5, Z4 4, Z5 7, Z6 4. Note = 1 + 5 · Punkte/30, auf halbe Noten gerundet (andere Gewichtung jederzeit möglich).

Typische Fehler

Lernziel	Typischer Fehler
Z1	Zeichenumkehr bei Multiplikation/Division mit negativer Zahl vergessen; Vorzeichenfehler beim Sortieren der x-Terme.
Z2	Beim Teilen durch -2 nur das Vorzeichen, nicht aber das Ungleichheitszeichen ändern; «y links» wird nicht hergestellt und die Halbebene wird geraten.
Z3	Strichart verwechselt (gestrichelt bei </>); Halbebene ohne Testpunkt gewählt; Randgerade falsch abgelesen.
Z4	Randpunkte bei strenger Ungleichung fälschlich zur Lösungsmenge gezählt (Aufgabe 4, Q).
Z5	Vereinigung statt Durchschnitt eingefärbt; Eckpunkte abgelesen statt durch Gleichsetzen berechnet.
Z6	«Keine Lösung» wird als «alle Punkte» oder «nur Randgeraden» beschrieben; fehlende Begründung über die gleichzeitige Erfüllung.

Übungsprüfung als Aufgabenliste (zum Kopieren)

Löse nach x auf: a) -3x + 7 ≤ 13 b) 4 - 2x > x + 13 c) Was geschieht beim Dividieren durch -3? (5 P)
Bringe 4x - 2y ≥ 6 in die Form y … m·x + q. Gib m, q, die Halbebene und die Strichart der Randgeraden an. (5 P)
a) Welche Ungleichung gehört zur Grafik (Randgerade durch (0|4) und (4|0), durchgezogen, unterhalb schraffiert)? b) Beschreibe für y > 2x - 1 die Strichart, die Halbebene und prüfe O(0|0). (5 P)
Prüfe für 2x + 3y < 12, ob P(0|0), Q(3|2), R(6|1), S(-1|4) zur Lösungsmenge gehören. (4 P)
System I: y ≥ 0, II: y ≤ 2x, III: x + y ≤ 6. Gehören P(1|3) und Q(3|2) dazu? Berechne den Schnittpunkt der Randgeraden von II und III. (4 P)
Der Lösungsbereich dieses Systems hat die Ecken (0|0), (6|0), (2|4). Welche Form hat er? Grösster y-Wert? Grösster x-Wert? (3 P)
a) Begründe in zwei Sätzen, weshalb die Lösungsmenge die Durchschnittsmenge der Halbebenen ist. b) Drei Halbebenen haben keinen gemeinsamen Punkt – was folgt daraus? (4 P)

Prüfungsvorbereitung erzeugt mit Lernwege (EDUTECSOL). Mathematik · Berufsmaturität · Lineare Ungleichungen und Ungleichungssysteme.