Mathematik · Berufsmaturität · Lernhilfe

Lineare Optimierung

Selbstständig wiederholen und nachschlagen: Merkblatt zum grafischen Lösungsverfahren, 22 Lernkarten zum Abfragen und ein Glossar der Fachbegriffe.

Kernaussagen

Die lineare Optimierung sucht den grössten oder kleinsten Wert einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen.
Jede Nebenbedingung ist eine lineare Ungleichung und beschreibt im Koordinatensystem eine Halbebene (Randgerade plus eine Seite).
Der Durchschnitt aller Halbebenen ist der zulässige Bereich; er ist konvex und meist ein Vieleck, kann aber auch unbeschränkt oder leer sein.
Eckensatz: Das Optimum liegt immer in mindestens einer Ecke des zulässigen Bereichs.
Für jeden festen Wert z ergibt die Zielfunktion eine Zielgerade; alle Zielgeraden sind zueinander parallel.
Grafisch löst man, indem man die Zielgerade parallel verschiebt bis zur letzten Berührung mit dem zulässigen Bereich.
Rechnerisch löst man, indem man alle Ecken bestimmt und in z einsetzt und die Werte vergleicht.
Grafisch lösbar sind Probleme mit zwei Variablen; bei mehr Variablen braucht es das Simplex-Verfahren.

Regeln und Formeln

z = a·x + b·y → max / min Zielfunktion mit zwei Entscheidungsvariablen.

a₁x + a₂y ≤ c Nebenbedingung (Ressourcen begrenzen meist nach oben).

x ≥ 0, y ≥ 0 Nicht-Negativitätsbedingungen, bei Sachaufgaben fast immer nötig.

y = (c − a₁x) / a₂ Randgerade zum Zeichnen auflösen (nur falls a₂ ≠ 0).

y = −(a/b)·x + z/b Zielgerade; die Steigung −a/b ist für jedes z gleich.

Ungleichung · (−1) ⇒ ≤ wird ≥ gilt immer beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl.

So gehe ich vor

Variablen festlegen (x, y) und Zielfunktion z aufstellen.
Alle Nebenbedingungen als Ungleichungen notieren, Nicht-Negativität nicht vergessen.
Randgeraden zeichnen (Achsenschnittpunkte genügen), Halbebene mit einem Testpunkt bestimmen.
Zulässigen Bereich schraffieren und seine Ecken berechnen (Gleichungssystem der zwei Randgeraden).
Alle Ecken in z einsetzen oder die Zielgerade parallel verschieben; grössten bzw. kleinsten Wert wählen.
Antwortsatz mit Einheiten schreiben, Ganzzahligkeit prüfen.

Mini-Beispiel: Max. z = 40x + 60y mit x + 2y ≤ 20, 3x + 2y ≤ 36, x ≥ 0, y ≥ 0.
Ecken: (0|0), (12|0), (0|10) und der Schnittpunkt der beiden Randgeraden: Subtraktion ergibt 2x = 16, also x = 8 und y = 6 → (8|6).
z-Werte: 0 · 0 = 0 | (12|0): 480 | (0|10): 600 | (8|6): 320 + 360 = 680. Optimum: x = 8, y = 6 mit z = 680.

Ecke	z = 40x + 60y
(0 \| 0)	0
(12 \| 0)	480
(0 \| 10)	600
(8 \| 6)	680 ← Maximum

Zielgerade z = 680

Typische Fehler

1. Zeichen vergessen beim Umformen. Aus −2x + y ≤ 4 wird beim Multiplizieren mit (−1) nicht 2x − y ≤ −4, sondern 2x − y ≥ −4: Das Zeichen dreht sich um.

2. Nur Achsenschnittpunkte geprüft. Die beste Ecke ist oft der Schnittpunkt zweier Randgeraden. Diesen immer über das Gleichungssystem berechnen, nicht aus der Zeichnung ablesen.

3. Ungeeigneter Testpunkt. Liegt (0|0) auf der Randgeraden, taugt er nicht. Dann einen anderen Punkt wählen, z. B. (1|0), und erneut einsetzen. Zusatz: Ist die optimale Ecke nicht ganzzahlig, obwohl Stückzahlen verlangt sind, die benachbarten Gitterpunkte im zulässigen Bereich prüfen.

0gewusst

0nochmals

0offen

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Eckensatz: Regel, dass das Optimum einer linearen Zielfunktion stets in mindestens einer Ecke des zulässigen Bereichs liegt. Beispiel: Im Mini-Beispiel genügt der Vergleich der vier Ecken, um z = 680 zu finden.
Ganzzahligkeitsbedingung: Zusätzliche Forderung, dass die Lösung ganze Zahlen sein muss. Beispiel: Stühle und Tische lassen sich nur stückweise fertigen; ist die Ecke nicht ganzzahlig, prüft man benachbarte Gitterpunkte.
Halbebene: Teil der Ebene auf einer Seite einer Geraden, inklusive der Randgeraden bei ≤ oder ≥. Beispiel: x + 2y ≤ 20 beschreibt die Halbebene unterhalb der Geraden x + 2y = 20.
Konvex: Eigenschaft eines Bereichs: Die Verbindungsstrecke zweier Punkte des Bereichs liegt ganz im Bereich. Beispiel: Der zulässige Bereich aus lauter Halbebenen ist immer konvex.
Lineare Optimierung: Verfahren, eine lineare Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen zu maximieren oder zu minimieren. Beispiel: Grösster Gewinn bei begrenztem Material und begrenzter Arbeitszeit.
Lineare Ungleichung: Ungleichung, in der die Variablen nur in erster Potenz und ohne Produkte vorkommen. Beispiel: 3x + 2y ≤ 36.
Nebenbedingung (Restriktion): Einschränkung des Problems, meist als Ungleichung formuliert. Beispiel: Der Holzvorrat ergibt x + 2y ≤ 20.
Nicht-Negativitätsbedingung: Forderung x ≥ 0 und y ≥ 0, weil Mengen nicht negativ sein können. Beispiel: Sie begrenzt den zulässigen Bereich auf den ersten Quadranten.
Optimum: Der gesuchte grösste (Maximum) oder kleinste (Minimum) Wert der Zielfunktion samt zugehörigem Punkt. Beispiel: Optimum bei (8|6) mit z = 680.
Parallelverschiebung: Verschieben der Zielgeraden ohne Änderung der Steigung, bis der zulässige Bereich zuletzt berührt wird. Beispiel: z wächst von 0 auf 680, die Gerade berührt zuletzt die Ecke (8|6).
Randgerade: Gerade, die aus einer Nebenbedingung entsteht, wenn man ≤ oder ≥ durch = ersetzt. Beispiel: Aus 3x + 2y ≤ 36 wird die Randgerade 3x + 2y = 36.
Simplex-Verfahren: Rechnerisches Verfahren, das von Ecke zu Ecke wandert und auch bei mehr als zwei Variablen funktioniert. Beispiel: Nötig, sobald eine grafische Darstellung nicht mehr möglich ist.
Steigung der Zielgeraden: Der Wert −a/b aus z = ax + by; er entscheidet, welche Ecke optimal wird. Beispiel: z = 40x + 60y hat die Steigung −2/3.
Testpunkt: Punkt, den man in eine Ungleichung einsetzt, um die richtige Halbebene zu finden. Beispiel: (0|0) in x + 2y ≤ 20 ergibt 0 ≤ 20, also gehört die Seite mit dem Ursprung dazu.
Unbeschränkter Bereich: Zulässiger Bereich, der in eine Richtung unendlich weit reicht. Beispiel: Fehlen obere Schranken, kann ein Maximum nicht existieren, ein Minimum aber schon.
Zielfunktion: Die lineare Funktion z = ax + by, die maximiert oder minimiert wird. Beispiel: Deckungsbeitrag z = 40x + 60y in Franken.
Zielgerade: Gerade aller Punkte mit demselben Zielfunktionswert z. Beispiel: 40x + 60y = 680 verläuft durch die optimale Ecke (8|6).
Zulässiger Bereich (Planungsbereich): Menge aller Punkte, die alle Nebenbedingungen gleichzeitig erfüllen. Beispiel: Das Viereck mit den Ecken (0|0), (12|0), (8|6) und (0|10).

Für die Lehrperson: Einsatz, Abdeckung, Anpassung

Einsatzvorschläge

Vorbereitung: Merkblatt (Reiter A) vor der Lektion lesen lassen; das Mini-Beispiel dient als gemeinsamer Einstieg, der Schieberegler zeigt die Parallelverschiebung der Zielgeraden.
Wiederholung: Lernkarten (Reiter B) in Partnerarbeit, 10 Minuten; danach nur noch die als «Nochmals» markierten Karten üben.
Prüfungsvorbereitung: Reiter A als Spickzettel-Vorlage: Lernende formulieren die sechs Schritte selbst nach und vergleichen.
Nachteilsausgleich: Seite als PDF ausdrucken und als Hilfsmittel zulassen; Glossar unterstützt Lernende mit Deutsch als Zweitsprache, die Begriffe sind in einfacher Sprache erklärt.

Abdeckung des Materials

Das Ausgangsmaterial nennt nur das Thema «Lineare Optimierung» mit einem Lehrvideo-Link. Abgedeckt ist deshalb der BM-Standardstoff: Modellbildung (Zielfunktion, Nebenbedingungen, Nicht-Negativität), grafische Lösung (Halbebenen, zulässiger Bereich, Zielgeradenverfahren), Eckensatz und rechnerischer Eckenvergleich, Sonderfälle (unendlich viele Lösungen, unbeschränkt, leerer Bereich, Ganzzahligkeit) sowie der Hinweis auf das Simplex-Verfahren.

Anpassung

Die Lernkarten liegen im Skript als Datenfeld KARTEN (Objekte mit frage, antwort, thema); Einträge können ergänzt, gekürzt oder durch eigene Aufgaben ersetzt werden. Das Glossar steht als <dl class="gloss"> direkt im HTML: neue Paare aus <dt> und <dd> alphabetisch einfügen, die Suche greift automatisch. Bei zweisprachigem Unterricht kann nach dem Begriff ein <small> mit der Übersetzung eingefügt werden.

Lernhilfe erzeugt mit Lernwege (EDUTECSOL). Mathematik · Berufsmaturität · Thema: Lineare Optimierung.